Rischio e Rendimento

Supponiamo che due giocatori giochino uno speciale tipo di poker a carte scoperte. Il mazzo è composto, come al solito, di 52 carte. Dopo la distribuzione di quattro carte a testa la situazione è la seguente:

Il primo giocatore (A) ha le seguenti carte: asso di fiori, asso di quadri, asso di cuori, fante di cuori.
Il secondo giocatore (B) ha queste altre: quattro di cuori, cinque di cuori, sei di cuori, sette di cuori.

A questo punto c’è un euro nel piatto ed entrambi i giocatori devono ricevere ancora una carta. A punta un altro euro. Che cosa deve fare B?
Qual è la puntata di A oltre cui è conveniente per B ritirarsi?

Il gioco razionale del poker vuole che si punti soltanto se il valore probabile del piatto alla fine della mano è maggiore o uguale alla puntata che si deve fare per cercare di vincerlo.
In questo problema, essendo le carte scoperte, le probabilità possono essere calcolate con precisione mentre nel poker ordinario, le probabilità devono essere stimate.
I due giocatori hanno le seguenti possibilità di completare la propria mano:

A ha 1 possibilità di fare poker d’assi e 3 possibilità di fare full d’assi
B ha due possibilità di fare scala reale, 6 possibilità di fare scala e 5 possibilità di fare colore; (per la scala e il colore sono già dedotte le due carte con cui B ottiene la scala reale).

La probabilità che B vinca il piatto è la probabilità di fare scala reale più la probabilità di fare scala o colore moltiplicata per la probabilità che A non completi in alcun modo la propria mano, essendo il full considerato superiore sia alla scala sia al colore. Quindi:

P(B vince) = 2/44 + 11/44 x 39/44 = 0,273

Se B vede, deve mettere un euro nel piatto. In tutto ci saranno allora 3 euro e la vincita probabile di B sarà:

0,273 x 3 = 820 centesimi di euro

Accettare la puntata e vedere sarebbe per B un cattivo investimento.

Supponiamo che A abbia puntato x euro. Ci sarebbero allora, se B vedesse, 1 + 2x euro nel piatto. B dovrebbe vedere se

0,273 (1 + 2x) ≥ x

60 ≥ x

Al giocatore B conviene vedere a condizione che A non punti più di 60 centesimi; altrimenti gli conviene ritirarsi.