Rischio e Rendimento

Supponiamo che due giocatori giochino uno speciale tipo di poker a carte scoperte. Il mazzo è composto, come al solito, di 52 carte. Dopo la distribuzione di quattro carte a testa la situazione è la seguente:

Il primo giocatore (A) ha le seguenti carte: asso di fiori, asso di quadri, asso di cuori, fante di cuori.
Il secondo giocatore (B) ha queste altre: quattro di cuori, cinque di cuori, sei di cuori, sette di cuori.

A questo punto c’è un euro nel piatto ed entrambi i giocatori devono ricevere ancora una carta. A punta un altro euro. Che cosa deve fare B?
Qual è la puntata di A oltre cui è conveniente per B ritirarsi?

Il gioco razionale del poker vuole che si punti soltanto se il valore probabile del piatto alla fine della mano è maggiore o uguale alla puntata che si deve fare per cercare di vincerlo.
In questo problema, essendo le carte scoperte, le probabilità possono essere calcolate con precisione mentre nel poker ordinario, le probabilità devono essere stimate.
I due giocatori hanno le seguenti possibilità di completare la propria mano:

A ha 1 possibilità di fare poker d’assi e 3 possibilità di fare full d’assi
B ha due possibilità di fare scala reale, 6 possibilità di fare scala e 5 possibilità di fare colore; (per la scala e il colore sono già dedotte le due carte con cui B ottiene la scala reale).

La probabilità che B vinca il piatto è la probabilità di fare scala reale più la probabilità di fare scala o colore moltiplicata per la probabilità che A non completi in alcun modo la propria mano, essendo il full considerato superiore sia alla scala sia al colore. Quindi:

P(B vince) = 2/44 + 11/44 x 39/44 = 0,273

Se B vede, deve mettere un euro nel piatto. In tutto ci saranno allora 3 euro e la vincita probabile di B sarà:

0,273 x 3 = 820 centesimi di euro

Accettare la puntata e vedere sarebbe per B un cattivo investimento.

Supponiamo che A abbia puntato x euro. Ci sarebbero allora, se B vedesse, 1 + 2x euro nel piatto. B dovrebbe vedere se

0,273 (1 + 2x) ≥ x

60 ≥ x

Al giocatore B conviene vedere a condizione che A non punti più di 60 centesimi; altrimenti gli conviene ritirarsi.

Trading e Probabilità

L’applicazione della regola che abbiamo descritto in precedenza è abbastanza semplice, tuttavia bisognerebbe avere chiara la conoscenza delle famose “greche”.
Non mi dilungo nel descrivere cosa sono e come possono essere sfruttate le greche- scriverò magari un post sull’argomento - voglio introdurre però il concetto di Delta (una delle greche più significative per i derivati in generale) perché mi sarà utile per il proseguo del discorso sul calcolo delle probabilità:
Il delta rappresenta la sensibilità del premio di un’opzione al variare del sottostante e viene calcolato come il rapporto tra la variazione del prezzo dell’opzione e la variazione del prezzo del sottostante.
Supponiamo che nel giro di due ore il prezzo del sottostante (indice S&PMIB) vari (cresca) di 390 punti e che nello stesso lasso di tempo il premio dell’opzione salga di 45 punti, il rapporto 45/390, pari a 0,11 rappresenta il Delta dell’opzione in esame.
Il delta viene interpretato anche (e questo a noi interessa in particolar modo) come la probabilità di un’opzione di scadere in the money; un delta pari a 0,11 significa che l’opzione in oggetto ha una probabilità di scadere in the money pari all’11%.
Supponiamo di voler operare con opzioni sul titolo STM e che la quotazione sia 12,26 euro ad azione.
Supponiamo di avere la seguente tabella:

STRIKE - DELTA

11,50 - 0,8485
12,00 - 0,5960
12,50 - 0,4112
13,00 - 0,2714
13,50 - 0,1726
14,00 - 0,1071

A questo punto ci chiediamo, qual è la probabilità di portare a casa un guadagno magari sfruttando una butterfly con le due call comprate con strike rispettivamente 11,50 e 13,50 e le due call vendute con strike 12,50?
Prescindendo dai premi delle opzioni – ora ci interessa solo l’applicabilità dei concetti di probabilità all’esempio in questione – possiamo dire che il titolo non dovrà portarsi, a scadenza, sopra 13,50 e sotto 11,50 e che entrambi gli eventi dovranno verificarsi contemporaneamente.
Per il primo evento (titolo sopra 13,50) possiamo dire che la probabilità che questo si verifichi è il 17,26%, o meglio ancora ho l’82,74% di probabilità che non riverifichi.
Il secondo evento ha l’84,85% di probabilità di verificarsi.
Se entrambi gli eventi devono aversi contemporaneamente:

82,74*84,85 = 70,2%

di probabilità a nostro favore.

Probabilità

Tra i vari approcci all’operatività su un qualsiasi strumento finanziario, quello che, secondo me, è il più indicato e affidabile è l’approccio probabilistico.
Molte volte abbiamo sentito dire che un trading system ha un’affidabilità del 70% o del 65% o di una percentuale qualsivoglia variabile. Cosa significa? Significa che se vado a testare il suddetto TS su una serie storica di dati ottengo la verifica di tale sistema 70 o 65 volte su 100.
Se poi questo 70% di volte guadagno almeno quanto perdo le rimanenti 30% volte ottengo un risultato positivo (gain).
Questo è vero sempre e su questo si basano i TS.
Non si tratta dunque di fare previsioni ma solo di dare una percentuale (un numero ) di probabilità che un evento accada oppure no.
Ma cosa è la probabilità?
Diciamo che, nel caso di eventi semplici, cioè nel caso in cui il verificarsi di un evento (E1) esclude il verificarsi di tutti gli altri, la probabilità è data dal semplice rapporto:

numero di casi in cui si verifica E1/numero di tentativi fatti

quando il numero di tentativi tende ad infinito indichiamo tale probabilità con P(E1).
Ovviamente P(E1) sarà un numero compreso tra 0 e 1 o, esprimendolo in percentuale, sarà un numero compreso tra 0% e 100%.
Casi particolari sono l’evento certo (probabilità = 1 o 100%) e l’evento nullo (0 o 0%)
Per fare un esempio, se volessimo calcolare la probabilità che, tirando un dado, si verifichi l’evento “uscita del numero 6”, potremo dire che è 1/6 o 0,1667 o il 17% circa.
Nel caso di eventi complessi il calcolo si complica un pò. Vediamo come.
Se lanciassi due dadi invece di uno e volessi sapere che probabilità ho che si verifichi l’evento “somma dei due dadi pari a 8” otterrei la seguente tabella:

I dado 2 3 4 5 6

II dado 6 5 4 3 2

Totale 8 8 8 8 8

Dunque cinque (5) volte può verificarsi tale evento.
Prendiamo il primo caso, la probabilità che il primo dado dia un 2 è 1/6, la probabilità che il secondo dado dia un 6 è anch’essa 1/6, la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino contemporaneamente è 1/6*1/6 = 1/36 = 2,77%.
Quindi ho una probabilità di accadimento di 1/36, ma avendo altre 4 possibilità di uscite favorevoli (vedi le altre 4 colonne) in totale la probabilità di ottenere 8 è la somma delle 5 probabilità ciascuna di valore 1/36:

1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = 5/36 = 13,8%

Questo è il valore cercato.
Quindi possiamo dire in conclusione che:
Nel caso in cui due o più eventi debbano verificarsi contemporaneamente dovrò fare il prodotto delle probabilità di accadimento degli eventi presi singolarmente (1/36 è infatti il prodotto dei due eventi singoli 1/6 – per avere 2 con il primo dado – 1/6 – per avere 6 con il secondo dado); nel caso in cui gli eventi possano verificarsi non contemporaneamente (o meglio basta che si verifichi uno solo degli eventi presi in considerazione) la probabilità di accadimento è data dalla somma delle singole probabilità (infatti in questo secondo caso non mi importa se per ottenere 8 avrò 2+6 o 3+5 o 4+4, etc.).
La prossima volta vedremo come questo argomento è correlato con il trading in opzioni.